Найдите значение выражения: \( \frac{1}{2^{-7}} \cdot \frac{1}{2^{9}} \)

Решение:

Чтобы найти значение выражения, воспользуемся свойствами степеней. Вспомним правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).

Сначала преобразуем дробь \( \frac{1}{2^{-7}} \). По определению отрицательной степени, \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), значит, \( \frac{1}{2^{-7}} = 2^7 \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{1}{2^{-7}} \cdot \frac{1}{2^{9}} = 2^7 \cdot \frac{1}{2^{9}} \]

Запишем \( 2^7 \) как \( \frac{2^7}{1} \) и перемножим дроби:

\[ \frac{2^7}{1} \cdot \frac{1}{2^{9}} = \frac{2^7 \cdot 1}{1 \cdot 2^{9}} = \frac{2^7}{2^{9}} \]

Теперь воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ \frac{2^7}{2^{9}} = 2^{7-9} = 2^{-2} \]

По определению отрицательной степени, \( 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \).

Ответ: \( \frac{1}{4} \).