Найдите значение выражения: $$\frac{12^{1 \frac{1}{2}}}{33 \cdot 82} \cdot \frac{1 \frac{5}{3}}{8 \frac{1}{6}}$$

Решение:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

• \( 1 \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \)
• \( 12^{1 \frac{1}{2}} = 12^{\frac{3}{2}} = \sqrt{12^3} = \sqrt{1728} = \sqrt{576 \cdot 3} = 24\sqrt{3} \)
• \( 1 \frac{5}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 5}{3} = \frac{8}{3} \)
• \( 8 \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{49}{6} \)

Теперь подставим преобразованные значения в исходное выражение:

\[ \frac{24\sqrt{3}}{33 \cdot 82} \cdot \frac{\frac{8}{3}}{\frac{49}{6}} \]\[ = \frac{24\sqrt{3}}{2706} \cdot \left( \frac{8}{3} \div \frac{49}{6} \right) \]\[ = \frac{24\sqrt{3}}{2706} \cdot \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{6}{49} \right) \]\[ = \frac{24\sqrt{3}}{2706} \cdot \frac{48}{147} \]\[ = \frac{1152\sqrt{3}}{397782} \]

Сократим полученную дробь:

\[ \frac{1152\sqrt{3}}{397782} = \frac{1152}{397782} \sqrt{3} \]

Разделим числитель и знаменатель на 6:

\[ \frac{192}{66297} \sqrt{3} \]

Разделим числитель и знаменатель на 3:

\[ \frac{64}{22099} \sqrt{3} \]

Примечание: Вычисление \( 12^{\frac{3}{2}} \) может быть выполнено как \( (12^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{12})^3 = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) или \( (12^3)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1728} = 24\sqrt{3} \).

Ответ: $$\frac{64\sqrt{3}}{22099}$$