Найдите значение выражения $$\frac{12\sqrt[6]{a}-4\sqrt[7]{a}}{4\sqrt[3]{a}\sqrt[42]{a}}$$ при $$a>0$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем все корни к общей степени. Наименьшее общее кратное для 6, 7, 3 и 42 равно 42.
2. Шаг 2: Представим числитель с корнями 42-й степени:
• $$12\sqrt[6]{a} = 12\sqrt[42]{a^7}$$
• $$4\sqrt[7]{a} = 4\sqrt[42]{a^6}$$
3. Шаг 3: Представим знаменатель с корнями 42-й степени:
• $$4\sqrt[3]{a}\sqrt[42]{a} = 4\sqrt[42]{a^{14}}\sqrt[42]{a} = 4\sqrt[42]{a^{15}}$$
4. Шаг 4: Подставим преобразованные выражения обратно в дробь:
• $$\frac{12\sqrt[42]{a^7}-4\sqrt[42]{a^6}}{4\sqrt[42]{a^{15}}}$$
5. Шаг 5: Вынесем общий множитель $$4\sqrt[42]{a^6}$$ из числителя:
• $$\frac{4\sqrt[42]{a^6}(3\sqrt[42]{a}-1)}{4\sqrt[42]{a^{15}}}$$
6. Шаг 6: Сократим дробь:
• $$\frac{3\sqrt[42]{a}-1}{\sqrt[42]{a^9}}$$
7. Шаг 7: Разделим члены числителя на знаменатель:
• $$\frac{3\sqrt[42]{a}}{\sqrt[42]{a^9}} - \frac{1}{\sqrt[42]{a^9}} = 3\sqrt[42]{\frac{a}{a^9}} - \frac{1}{\sqrt[42]{a^9}} = 3\sqrt[42]{a^{-8}} - \sqrt[42]{a^{-9}}$$
8. Шаг 8: Запишем результат в виде степеней:
• $$3a^{-\frac{8}{42}} - a^{-\frac{9}{42}} = 3a^{-\frac{4}{21}} - a^{-\frac{3}{14}}$$

Ответ: $$3a^{-\frac{4}{21}} - a^{-\frac{3}{14}}$$