Найдите значение выражения: \(\frac{14}{15} : \left(1\frac{1}{6} + 2\frac{1}{2} + 3\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{5}{8}\). (В ответе укажите несократимую дробь или число.)

Решение:

Выполним вычисления по действиям:

1. Приведём смешанные числа в скобках к неправильным дробям:
   \(1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}\)
   \(2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}\)
   \(3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}\)
2. Сложим дроби в скобках. Для этого приведём их к общему знаменателю 6:
   \(\frac{7}{6} + \frac{5}{2} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{7}{6} + \frac{15}{6} + \frac{20}{6} = \frac{7 + 15 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7\)
3. Теперь выполним деление:
   \(\frac{14}{15} : 7 = \frac{14}{15} \cdot \frac{1}{7} = \frac{14}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{2}{15}\)
4. Наконец, умножим результат на \(\frac{5}{8}\):
   \(\frac{2}{15} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{15 \cdot 8} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}\)

Ответ: \(\frac{1}{12}\).