Найдите значение выражения \( \frac{2}{1 \frac{1}{24} + \frac{1}{56}} \).

Решение:

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

• \( 1 \frac{1}{24} = \frac{1 \times 24 + 1}{24} = \frac{25}{24} \)

Теперь сложим дроби в знаменателе:

• \( \frac{25}{24} + \frac{1}{56} \)

Найдём общий знаменатель для 24 и 56. Разложим числа на простые множители:

• \( 24 = 2^3 \times 3 \)
• \( 56 = 2^3 \times 7 \)
• Наименьший общий знаменатель равен \( 2^3 \times 3 \times 7 = 8 \times 21 = 168 \).

Приведём дроби к общему знаменателю:

• \( \frac{25}{24} = \frac{25 \times 7}{24 \times 7} = \frac{175}{168} \)
• \( \frac{1}{56} = \frac{1 \times 3}{56 \times 3} = \frac{3}{168} \)

Сложим дроби:

• \( \frac{175}{168} + \frac{3}{168} = \frac{175 + 3}{168} = \frac{178}{168} \)

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

• \( \frac{178}{168} = \frac{89}{84} \)

Теперь найдём значение всего выражения, разделив 2 на полученную дробь:

• \( \frac{2}{\frac{89}{84}} = 2 \div \frac{89}{84} = 2 \times \frac{84}{89} = \frac{2 \times 84}{89} = \frac{168}{89} \)

Преобразуем неправильную дробь в смешанную:

• \( \frac{168}{89} = 1 \frac{79}{89} \)

Ответ: \( \frac{168}{89} \) или \( 1 \frac{79}{89} \).