Найдите значение выражения $$\frac{2(3a^{2})^{3}}{a^{8} \cdot a^{2}}$$ при $$a=\sqrt{12}$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощение выражения.

   Сначала раскроем скобки в числителе, возведя каждый множитель в третью степень:

   \( (3a^2)^3 = 3^3 \cdot (a^2)^3 = 27 \cdot a^{2 \cdot 3} = 27a^6 \)

   Теперь выражение в числителе будет: \( 2 \cdot 27a^6 = 54a^6 \)

   В знаменателе перемножим степени с одинаковым основанием, сложив показатели:

   \( a^8 \cdot a^2 = a^{8+2} = a^{10} \)

   Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

   $$ \frac{54a^6}{a^{10}} $$

   Сократим степени с одинаковым основанием, вычтя показатели:

   $$ 54a^{6-10} = 54a^{-4} = \frac{54}{a^4} $$

2. Шаг 2: Подстановка значения $$a$$.

   Нам дано, что $$a = \sqrt{12}$$. Возведем это значение в четвертую степень:

   $$ a^4 = (\sqrt{12})^4 = (12^{1/2})^4 = 12^{(1/2) \cdot 4} = 12^2 = 144 $$

3. Шаг 3: Вычисление значения выражения.

   Теперь подставим полученное значение $$a^4$$ в упрощенное выражение:

   $$ \frac{54}{a^4} = \frac{54}{144} $$

   Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 18:

   $$ 54 \div 18 = 3 \quad \text{и} \quad 144 \div 18 = 8 \)

   Получаем:

   $$ \frac{3}{8} $$

Ответ: $$\frac{3}{8}$$