Найдите значение выражения: \(\frac{2^9 \cdot 4^{-2}}{2^3}\). В ответе укажите только число. Если в ответе получилась дробь, то она должна быть записана в виде десятичной.

Решение:

1. Представим число 4 как степень числа 2: \( 4 = 2^2 \).
2. Подставим это в исходное выражение: \[ \frac{2^9 \cdot (2^2)^{-2}}{2^3} \]
3. Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \[ \frac{2^9 \cdot 2^{2 \cdot (-2)}}{2^3} = \frac{2^9 \cdot 2^{-4}}{2^3} \]
4. Используем свойство степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в числителе: \[ \frac{2^{9 + (-4)}}{2^3} = \frac{2^5}{2^3} \]
5. Используем свойство степени \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{5-3} = 2^2 \]
6. Вычислим окончательное значение: \( 2^2 = 4 \)

Ответ: 4