Найдите значение выражения $$\frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}$$.

Решение:

Для вычисления значения выражения \(\frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3}\) преобразуем числитель и знаменатель, разложив числа на простые множители.

1. Представим число 24 как произведение простых множителей: \( 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 \).
2. Теперь возведём 24 в 4-ю степень: \( 24^4 = (3 \cdot 2^3)^4 = 3^4 \cdot (2^3)^4 = 3^4 \cdot 2^{12} \).
3. Представим число 8 как степень двойки: \( 8 = 2^3 \).
4. Возведём 8 в 3-ю степень: \( 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 \).
5. Теперь подставим полученные выражения в исходное: \( \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} = \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{3^2 \cdot 2^9} \).
6. Применим свойства степеней \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \( \frac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2 \) и \( \frac{2^{12}}{2^9} = 2^{12-9} = 2^3 \).
7. Перемножим полученные степени: \( 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72 \).

Ответ: 72