Найдите значение выражения: \(\frac{243^{-3} \cdot 81^{-2}}{27^{-3} \cdot 3^{-16}}\)

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Представим числа в виде степеней тройки.
   • $$243 = 3^5$$
   • $$81 = 3^4$$
   • $$27 = 3^3$$
2. Шаг 2: Подставим степени в исходное выражение.
   • $$\( \frac{(3^5)^{-3} (3^4)^{-2}}{(3^3)^{-3} 3^{-16}} \)$$
3. Шаг 3: Применим свойство степени $$(a^m)^n = a^{m n}$$.
   • $$\( \frac{3^{5 (-3)} 3^{4 (-2)}}{3^{3 (-3)} 3^{-16}} \)$$
   • $$\( \frac{3^{-15} 3^{-8}}{3^{-9} 3^{-16}} \)$$
4. Шаг 4: Применим свойство степени $$a^m a^n = a^{m+n}$$.
   • $$\( \frac{3^{-15 + (-8)}}{3^{-9 + (-16)}} \)$$
   • $$\( \frac{3^{-23}}{3^{-25}} \)$$
5. Шаг 5: Применим свойство степени $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.
   • $$\( 3^{-23 - (-25)} \)$$
   • $$\( 3^{-23 + 25} \)$$
   • $$\( 3^2 \)$$
6. Шаг 6: Вычислим итоговое значение.
   • $$\( 3^2 = 9 \)$$

Ответ: 9