Найдите значение выражения: $$ \frac{25}{33} \cdot \left( 2\frac{8}{15} - 2\frac{6}{25} \right) + 3\frac{7}{18} = ? $$ (В ответе укажите смешанное число с несократимой дробной частью.)

Решение:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   • \[ 2\frac{8}{15} = \frac{2 \times 15 + 8}{15} = \frac{30 + 8}{15} = \frac{38}{15} \]
   • \[ 2\frac{6}{25} = \frac{2 \times 25 + 6}{25} = \frac{50 + 6}{25} = \frac{56}{25} \]
   • \[ 3\frac{7}{18} = \frac{3 \times 18 + 7}{18} = \frac{54 + 7}{18} = \frac{61}{18} \]
2. Вычислим разность в скобках:
   • \[ \frac{38}{15} - \frac{56}{25} \]
   • Найдем общий знаменатель для 15 и 25. Это 75.
   • \[ \frac{38 \times 5}{15 \times 5} - \frac{56 \times 3}{25 \times 3} = \frac{190}{75} - \frac{168}{75} = \frac{190 - 168}{75} = \frac{22}{75} \]
3. Умножим первую дробь на результат в скобках:
   • \[ \frac{25}{33} \times \frac{22}{75} \]
   • Сократим дроби: 25 и 75 делятся на 25 (получаем 1 и 3), 22 и 33 делятся на 11 (получаем 2 и 3).
   • \[ \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \]
4. Прибавим к результату третье смешанное число:
   • \[ \frac{2}{9} + 3\frac{7}{18} \]
   • Переведем смешанное число в неправильную дробь: \[ 3\frac{7}{18} = \frac{61}{18} \]
   • Найдем общий знаменатель для 9 и 18. Это 18.
   • \[ \frac{2 \times 2}{9 \times 2} + \frac{61}{18} = \frac{4}{18} + \frac{61}{18} = \frac{4 + 61}{18} = \frac{65}{18} \]
5. Переведем неправильную дробь в смешанное число:
   • \[ \frac{65}{18} = 3 \text{ (остаток } 65 - 18 \times 3 = 65 - 54 = 11) \text{)} = 3\frac{11}{18} \]
   • Дробь \( \frac{11}{18} \) несократимая, так как 11 — простое число, а 18 не делится на 11.

Ответ: $$3\frac{11}{18}$$