Найдите значение выражения: \(\frac{25}{33} \cdot \left( \frac{8}{15} - \frac{6}{25} \right) + 3 \frac{7}{18}\). В ответе укажите смешанное число с несократимой дробной частью.

Решение:

1. Найдем значение выражения в скобках. Для этого приведем дроби \( \frac{8}{15} \) и \( \frac{6}{25} \) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 25 равен 75. \( \frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{40}{75} \), \( \frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{18}{75} \).
2. Выполним вычитание в скобках: \( \frac{40}{75} - \frac{18}{75} = \frac{22}{75} \).
3. Теперь выполним умножение: \( \frac{25}{33} \cdot \frac{22}{75} \). Сократим множители: 25 и 75 (делим на 25), 33 и 22 (делим на 11). \( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \).
4. Переведем смешанное число \( 3 \frac{7}{18} \) в неправильную дробь: \( 3 \frac{7}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{54 + 7}{18} = \frac{61}{18} \).
5. Прибавим полученные дроби: \( \frac{2}{9} + \frac{61}{18} \). Приведем к общему знаменателю 18. \( \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18} \).
6. Выполним сложение: \( \frac{4}{18} + \frac{61}{18} = \frac{65}{18} \).
7. Переведем неправильную дробь \( \frac{65}{18} \) в смешанное число. \( 65 : 18 = 3 \) с остатком \( 65 - 3 \cdot 18 = 65 - 54 = 11 \). Получаем \( 3 \frac{11}{18} \).
8. Дробная часть \( \frac{11}{18} \) несократимая, так как 11 — простое число, и 18 не делится на 11.

Ответ: \( 3 \frac{11}{18} \)