Найдите значение выражения \(\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}-\sqrt{6}\).

Решение:

Для нахождения значения выражения, сначала умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное число к знаменателю, то есть на \( 4+\sqrt{6} \).

\(\frac{30-5\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} = \frac{(30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}{(4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6})}\)

Раскроем скобки в числителе:

\((30-5\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 30 \cdot 4 + 30 \cdot \sqrt{6} - 5\sqrt{6} \cdot 4 - 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \)

\(= 120 + 30\sqrt{6} - 20\sqrt{6} - 5 \cdot 6 \)

\(= 120 + 10\sqrt{6} - 30 \)

\(= 90 + 10\sqrt{6}\)

Раскроем скобки в знаменателе (разность квадратов):

\((4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6}) = 4^2 - (\sqrt{6})^2 = 16 - 6 = 10\)

Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:

\(\frac{90 + 10\sqrt{6}}{10} = \frac{10(9 + \sqrt{6})}{10} = 9 + \sqrt{6}\)

Теперь вычтем \(\sqrt{6}\) из полученного значения:

\(9 + \sqrt{6} - \sqrt{6} = 9\)

Ответ: 9