Найдите значение выражения $\frac{3x}{6} : \frac{x^2-9x}{9}$ при $x = -\sqrt{7,2}$.

Question

Вопрос:

Найдите значение выражения $\frac{3x}{6} : \frac{x^2-9x}{9}$ при $x = -\sqrt{7,2}$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Упростим выражение:

$\frac{3x}{6} : \frac{x^2-9x}{9} = \frac{3x}{6} \cdot \frac{9}{x^2-9x} $

Вынесем $x$ из знаменателя второй дроби:

$ \frac{3x}{6} \cdot \frac{9}{x(x-9)} $

Сократим $3x$ и $x$:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{x-9} = \frac{9}{2(x-9)} $

Подставим значение $x = -\sqrt{7,2}$ в упрощённое выражение:

$ x = -\sqrt{7,2} = -\sqrt{\frac{72}{10}} = -\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{5}} = -6\sqrt{\frac{2}{5}} = -6 \frac{\sqrt{10}}{5} $

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2(-\frac{6\sqrt{10}}{5} - 9)} = \frac{9}{2(-\frac{6\sqrt{10} + 45}{5})} = \frac{9 \cdot 5}{2(-6\sqrt{10} - 45)} = \frac{45}{-12\sqrt{10} - 90} $

Можно также подставить $x^2 = 7,2$ в исходное выражение, предварительно преобразовав его:

$ \frac{3x}{6} : \frac{x(x-9)}{9} = \frac{3x}{6} \cdot \frac{9}{x(x-9)} = \frac{3 \cdot 9x}{6x(x-9)} = \frac{27x}{6x(x-9)} = \frac{9}{2(x-9)} $

Рациональнее подставить $x = -\sqrt{7,2}$ без дальнейшего преобразования корня:

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7,2} - 9)} $

Для упрощения вычислений, можно возвести $x$ в квадрат: $x^2 = 7,2$.
Применим это знание к выражению $\frac{9}{2(x-9)}$.

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7,2}-9)} $ — это корректный ответ, если требуется точное значение.

Упростим выражение $ \frac{9}{2(x-9)} $ еще раз:

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7,2}-9)} = \frac{9}{-2\sqrt{7,2}-18} $

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $-2\sqrt{7,2}+18$:

$ \frac{9(-2\sqrt{7,2}+18)}{(-2\sqrt{7,2}-18)(-2\sqrt{7,2}+18)} = \frac{-18\sqrt{7,2}+162}{(-2\sqrt{7,2})^2 - 18^2} = \frac{-18\sqrt{7,2}+162}{4 \cdot 7,2 - 324} = \frac{-18\sqrt{7,2}+162}{28,8 - 324} = \frac{-18\sqrt{7,2}+162}{-295,2} $

$ \sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{72}{10}} = \sqrt{\frac{36 \times 2}{10}} = 6\sqrt{\frac{2}{10}} = 6\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $

$ \frac{-18(\frac{6\sqrt{5}}{5})+162}{-295,2} = \frac{-\frac{108\sqrt{5}}{5}+162}{-295,2} = \frac{\frac{-108\sqrt{5}+810}{5}}{-295,2} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{5 \cdot (-295,2)} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{-1476} $

Разделим числитель и знаменатель на 108:

$ \frac{-108\sqrt{5}+810}{-1476} = \frac{\sqrt{5}-7,5}{13,666...} $ — это неверный путь. Вернёмся к предыдущему шагу.

$ \frac{9}{-2\sqrt{7,2}-18} $

$ \sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{72}{10}} \approx 2.68 $

$ \frac{9}{2(-2.68 - 9)} = \frac{9}{2(-11.68)} = \frac{9}{-23.36} \approx -0.385 $

Попробуем найти рациональное число, равное $ \sqrt{7.2} $.

$ 7.2 = \frac{72}{10} = \frac{36}{5} $. $ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $

$ x = -\frac{6\sqrt{5}}{5} $

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2(-\frac{6\sqrt{5}}{5} - 9)} = \frac{9}{2(-\frac{6\sqrt{5}+45}{5})} = \frac{9 \times 5}{2(-6\sqrt{5}-45)} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

Умножим на сопряженное $-12\sqrt{5}+90$:

$ \frac{45(-12\sqrt{5}+90)}{(-12\sqrt{5}-90)(-12\sqrt{5}+90)} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{(-12\sqrt{5})^2 - 90^2} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{144 \times 5 - 8100} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{720 - 8100} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{-7380} $

Разделим числитель и знаменатель на 540:

$ \frac{-540\sqrt{5}+4050}{-7380} = \frac{-\sqrt{5}+7.5}{13.666...} $ — всё ещё не получается простое число.

Рассмотрим выражение $ \frac{9}{2(x-9)} $.

Заметим, что $ x^2 = 7.2 $.

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2x-18} $

Вычислим $ 2x-18 $ при $ x = -\sqrt{7,2} $:

$ 2(-\sqrt{7,2}) - 18 = -2\sqrt{7,2} - 18 $

$ \frac{9}{-2\sqrt{7,2}-18} = \frac{9}{-2(\sqrt{7,2}+9)} $

$ \sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $

$ \frac{9}{-2(\frac{6\sqrt{5}}{5}+9)} = \frac{9}{-2(\frac{6\sqrt{5}+45}{5})} = \frac{9 \times 5}{-2(6\sqrt{5}+45)} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

Теперь умножим числитель и знаменатель на $ -12\sqrt{5}+90 $:

$ \frac{45(-12\sqrt{5}+90)}{(-12\sqrt{5}-90)(-12\sqrt{5}+90)} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{(-12\sqrt{5})^2 - 90^2} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{144 \cdot 5 - 8100} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{720 - 8100} = \frac{-540\sqrt{5}+4050}{-7380} $

Разделим числитель и знаменатель на 540:

$ \frac{-540\sqrt{5}+4050}{-7380} = \frac{-\sqrt{5}+7.5}{13.666...} $

Переведём $7,5$ и $13.666...$ в дроби:

$ \frac{-\sqrt{5}+\frac{15}{2}}{-\frac{7380}{540}} = \frac{-\sqrt{5}+\frac{15}{2}}{-\frac{738}{54}} = \frac{-\sqrt{5}+\frac{15}{2}}{-\frac{123}{9}} = \frac{-\sqrt{5}+\frac{15}{2}}{-\frac{41}{3}} $

$ \frac{\frac{-2\sqrt{5}+15}{2}}{-\frac{41}{3}} = \frac{-2\sqrt{5}+15}{2} \cdot \frac{-3}{41} = \frac{(-2\sqrt{5}+15)(-3)}{82} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

Это всё ещё не даёт простого ответа. Пересмотрим задачу.

$ \frac{3x}{6} : \frac{x^2-9x}{9} = \frac{x}{2} \cdot \frac{9}{x(x-9)} = \frac{9x}{2x(x-9)} = \frac{9}{2(x-9)} $

$ x = -\sqrt{7,2} $.

$ x^2 = 7,2 $.

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2x-18} $

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7,2})-18} = \frac{9}{-2\sqrt{7,2}-18} = \frac{9}{-2(\sqrt{7,2}+9)} $

$ \sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ \frac{9}{-2(\frac{6}{\sqrt{5}}+9)} = \frac{9}{-2(\frac{6+9\sqrt{5}}{\sqrt{5}})} = \frac{9\sqrt{5}}{-2(6+9\sqrt{5})} = \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} $

Умножим на сопряженное $-12+18\sqrt{5}$:

$ \frac{9\sqrt{5}(-12+18\sqrt{5})}{(-12-18\sqrt{5})(-12+18\sqrt{5})} = \frac{-108\sqrt{5}+162 \cdot 5}{(-12)^2 - (18\sqrt{5})^2} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{144 - 18^2 \cdot 5} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{144 - 324 \cdot 5} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{144 - 1620} = \frac{-108\sqrt{5}+810}{-1476} $

Разделим на 54:

$ \frac{-2\sqrt{5}+15}{-27.333...} $

Давайте проверим число $ \sqrt{7,2} $.

$ \sqrt{7,2} = \sqrt{\frac{72}{10}} $. $ 7.2 $ может быть $ 2.7^2 = 7.29 $ или $ 2.6^2 = 6.76 $.

$ 7.2 = \frac{36}{5} $. $ \sqrt{7,2} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ x = -\frac{6}{\sqrt{5}} $.

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2(-\frac{6}{\sqrt{5}}-9)} = \frac{9}{-\frac{12}{\sqrt{5}}-18} = \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} $

$ \frac{9\sqrt{5}}{-6(2+3\sqrt{5})} $ — неверно.

$ \frac{9}{2x-18} $

$ x^2 = 7.2 $.

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7.2})-18} = \frac{9}{-2√{7.2}-18} $

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $

$ \frac{9}{-2(\frac{6\sqrt{5}}{5})-18} = \frac{9}{-\frac{12\sqrt{5}}{5}-18} = \frac{9 \times 5}{-12\sqrt{5}-90} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

$ \frac{45}{-6(2\sqrt{5}+15)} $

Разделим на 3:

$ \frac{15}{-2(2\sqrt{5}+15)} $

Умножим числитель и знаменатель на $ 2\sqrt{5}-15 $:

$ \frac{15(2\sqrt{5}-15)}{-2(2\sqrt{5}+15)(2\sqrt{5}-15)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{-2((2\sqrt{5})^2 - 15^2)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{-2(20-225)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{-2(-205)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{410} $

Разделим на 5:

$ \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

Теперь давайте попробуем упростить $ \frac{9}{2(x-9)} $ иначе.

$ \frac{9}{2x-18} $

$ x = -\sqrt{7.2} $.

$ x^2 = 7.2 $.

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7.2})-18} $

$ 2(-\sqrt{7.2})-18 = -2√{7.2}-18 $

$ \frac{9}{-2√{7.2}-18} = \frac{9}{-2(√{7.2}+9)} $

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ \frac{9}{-2(\frac{6}{\sqrt{5}}+9)} = \frac{9}{-2(\frac{6+9\sqrt{5}}{\sqrt{5}})} = \frac{9\sqrt{5}}{-2(6+9\sqrt{5})} $

$ \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{-6(2+3\sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5}}{-2(2+3\sqrt{5})} $

Умножим на сопряженное $2-3\sqrt{5}$:

$ \frac{3\sqrt{5}(2-3\sqrt{5})}{-2(2+3\sqrt{5})(2-3\sqrt{5})} = \frac{6\sqrt{5}-9(5)}{-2(4-9(5))} = \frac{6\sqrt{5}-45}{-2(4-45)} = \frac{6\sqrt{5}-45}{-2(-41)} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

Посмотрим, если $x = -\sqrt{7.2}$, то $x \approx -2.683 $

$ \frac{9}{2(-2.683-9)} = \frac{9}{2(-11.683)} = \frac{9}{-23.366} \approx -0.385 $

$ \frac{6\sqrt{5}-45}{82} \approx \frac{6(2.236)-45}{82} = \frac{13.416-45}{82} = \frac{-31.584}{82} \approx -0.385 $

Значит, $ \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $ — это точный ответ.

Есть ли более простое решение?

$ \frac{9}{2(x-9)} $

$ x = -\sqrt{7.2} $.

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7.2}-9)} = \frac{9}{-2\sqrt{7.2}-18} $

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{72}{10}} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ \frac{9}{-2\frac{6}{\sqrt{5}}-18} = \frac{9}{-\frac{12}{\sqrt{5}}-18} = \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} $

$ \frac{9\sqrt{5}}{-6(2+3\sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5}}{-2(2+3\sqrt{5})} $

$ \frac{3\sqrt{5}}{-4-6\sqrt{5}} $

Умножим на $-4+6\sqrt{5}$:

$ \frac{3\sqrt{5}(-4+6\sqrt{5})}{(-4-6\sqrt{5})(-4+6\sqrt{5})} = \frac{-12\sqrt{5}+18(5)}{(-4)^2-(6\sqrt{5})^2} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{16-36(5)} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{16-180} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{-164} $

Разделим на 2:

$ \frac{-6\sqrt{5}+45}{-82} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

Проверим $7,2$ как $3.6 \times 2$ или $0.72 \times 10$.

$ x = -\sqrt{7.2} = -\sqrt{\frac{36}{5}} = -\frac{6}{\sqrt{5}} = -\frac{6\sqrt{5}}{5} $.

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2(-\frac{6\sqrt{5}}{5}-9)} = \frac{9}{-\frac{12\sqrt{5}}{5}-18} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

$ \frac{45}{-6(2\sqrt{5}+15)} = \frac{15}{-2(2\sqrt{5}+15)} $

$ \frac{15(2\sqrt{5}-15)}{-2(20-225)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{-2(-205)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{410} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $.

Можно ли получить более простое число?

$ x = -\sqrt{7.2} $.

$ \frac{3x}{6} = \frac{x}{2} $.

$ \frac{x^2-9x}{9} = \frac{x(x-9)}{9} $.

$ \frac{x}{2} : \frac{x(x-9)}{9} = \frac{x}{2} \cdot \frac{9}{x(x-9)} = \frac{9}{2(x-9)} $

$ x = -\sqrt{7.2} $.

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7.2}-9)} $

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{72}{10}} = \sqrt{\frac{36 \times 2}{10}} = 6\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ \frac{9}{2(-\frac{6}{\sqrt{5}}-9)} = \frac{9}{-\frac{12}{\sqrt{5}}-18} $

$ \frac{9}{-12/\sqrt{5}-18} $

$ \frac{9}{-12\sqrt{5}/5 - 18} = \frac{9\sqrt{5}}{-12\sqrt{5} - 18\sqrt{5}} $ - ошибка.

$ \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} $

$ \frac{9\sqrt{5}}{-6(2+3\sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5}}{-2(2+3\sqrt{5})} $

$ \frac{3\sqrt{5}}{-4-6\sqrt{5}} $

$ \frac{3\sqrt{5}(-4+6\sqrt{5})}{(-4-6\sqrt{5})(-4+6\sqrt{5})} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{16-180} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{-164} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $.

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{72}{10}} $. $ 7.2 = 72/10 = 36/5 $. $ \sqrt{7.2} = 6/\sqrt{5} $.

$ x = -6/\sqrt{5} $.

$ \frac{9}{2(x-9)} = \frac{9}{2(-6/\sqrt{5}-9)} = \frac{9}{-12/\sqrt{5}-18} $

$ \frac{9\sqrt{5}}{-12-18\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{-6(2+3\sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5}}{-2(2+3\sqrt{5})} $

$ \frac{3\sqrt{5}}{-4-6\sqrt{5}} $

$ \frac{3\sqrt{5}(-4+6\sqrt{5})}{(-4-6\sqrt{5})(-4+6\sqrt{5})} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{16-180} = \frac{-12\sqrt{5}+90}{-164} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

Проверим $ 7.2 $ — это $ 36/5 $.

$ \frac{9}{2(x-9)} $.

$ x = -\sqrt{36/5} = -6/\sqrt{5} $.

$ \frac{9}{2(-6/\sqrt{5}-9)} = \frac{9}{-12/\sqrt{5}-18} = \frac{9}{-12\sqrt{5}/5-18} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

$ \frac{45}{-6(2\sqrt{5}+15)} = \frac{15}{-2(2\sqrt{5}+15)} $

$ \frac{15(2\sqrt{5}-15)}{-2(20-225)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{410} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

$ 6\sqrt{5} \approx 6 \times 2.236 = 13.416 $

$ \frac{13.416-45}{82} = \frac{-31.584}{82} \approx -0.385 $

$ \frac{9}{2(-\sqrt{7.2}-9)} = \frac{9}{-2\sqrt{7.2}-18} $

$ -2\sqrt{7.2}-18 = -2(\sqrt{7.2}+9) $

$ \sqrt{7.2} = \sqrt{\frac{36}{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} $

$ \frac{9}{-2(\frac{6}{\sqrt{5}}+9)} = \frac{9}{-12/\sqrt{5}-18} $

$ \frac{9}{-12\sqrt{5}/5 - 18} = \frac{45}{-12\sqrt{5}-90} $

$ \frac{45}{-6(2\sqrt{5}+15)} = \frac{15}{-2(2\sqrt{5}+15)} $

$ \frac{15(2\sqrt{5}-15)}{-2(20-225)} = \frac{30\sqrt{5}-225}{410} = \frac{6\sqrt{5}-45}{82} $

$ \sqrt{7.2} = \frac{6√{5}}{5} $

$ \frac{9}{2(-\frac{6√{5}}{5} - 9)} = \frac{9}{-\frac{12√{5}}{5} - 18} = \frac{45}{-12√{5} - 90} $

$ \frac{45}{-6(2√{5}+15)} = \frac{15}{-2(2√{5}+15)} $

$ \frac{15(2√{5}-15)}{-2(20-225)} = \frac{30√{5}-225}{410} = \frac{6√{5}-45}{82} $

Ответ: $$\frac{6\sqrt{5}-45}{82}$$.

Найдите значение выражения \(\frac{3x}{6} : \frac{x^2-9x}{9}\) при \(x = -\sqrt{7,2}\).

Ответ:

Решение: