Найдите значение выражения \( \frac{(5^2 · 5^3)^4}{(5 · 5^5)^3} \).

Решение:

Используем свойства степеней: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( (a^m)^n = a^{m · n} \), а также \( (ab)^n = a^n b^n \).

Преобразуем числитель:

\[ (5^2 · 5^3)^4 = (5^{2+3})^4 = (5^5)^4 = 5^{5 · 4} = 5^{20} \]

Преобразуем знаменатель:

\[ (5 · 5^5)^3 = (5^{1+5})^3 = (5^6)^3 = 5^{6 · 3} = 5^{18} \]

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{5^{20}}{5^{18}} = 5^{20-18} = 5^2 = 25 \]

Ответ: 25