Найдите значение выражения \( \frac{(5^3 \cdot 5^2)^5}{(5 \cdot 5^5)^4} \)

Решение:

Используем свойства степеней:

1. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
3. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Преобразуем числитель:

\[ \frac{(5^3 \cdot 5^2)^5}{(5 \cdot 5^5)^4} = \frac{(5^{3+2})^5}{(5^{1+5})^4} = \frac{(5^5)^5}{(5^6)^4} \]

Применяем свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ \frac{5^{5 \cdot 5}}{5^{6 \cdot 4}} = \frac{5^{25}}{5^{24}} \]

Применяем свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 5^{25-24} = 5^1 = 5 \]

Проверка:

Введены числа 1, 2. Правильный ответ - 5.

Ответ: 5