Найдите значение выражения $$\frac{(5 \cdot 7)^6}{5^4 \cdot 7^6}$$.

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Раскроем скобки в числителе, используя свойство \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \):
   \[ (5 \cdot 7)^6 = 5^6 \cdot 7^6 \]
2. Подставим это в исходное выражение:
   \[ \frac{5^6 \cdot 7^6}{5^4 \cdot 7^6} \]
3. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ 5^{6-4} \cdot 7^{6-6} = 5^2 \cdot 7^0 \]
4. Любое число в нулевой степени равно 1, то есть \( 7^0 = 1 \).
5. Вычислим окончательное значение:
   \[ 5^2 \cdot 1 = 25 \]

Ответ: 25.