Найдите значение выражения: $$ \frac{5-\sqrt{7}}{\sqrt{3}-\sqrt{7}} $$

Решение:

Чтобы найти значение выражения, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение.

1. Знаменатель: \( \sqrt{3} - \sqrt{7} \). Сопряжённое выражение: \( \sqrt{3} + \sqrt{7} \).
2. Умножим числитель: \( (5-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7}) = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{7} - \sqrt{7}\sqrt{3} - \sqrt{7}\sqrt{7} = 5\sqrt{3} + 5\sqrt{7} - \sqrt{21} - 7 \)
3. Умножим знаменатель: \( (\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{3}+\sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 3 - 7 = -4 \)
4. Запишем полученное выражение: \( \frac{5\sqrt{3} + 5\sqrt{7} - \sqrt{21} - 7}{-4} \)
5. Изменим знаки, чтобы знаменатель стал положительным: \( \frac{-5\sqrt{3} - 5\sqrt{7} + \sqrt{21} + 7}{4} \)
6. Перепишем в более удобном порядке: \( \frac{7 - 5\sqrt{3} - 5\sqrt{7} + \sqrt{21}}{4} \)

Ответ: \( \frac{7 - 5\sqrt{3} - 5\sqrt{7} + \sqrt{21}}{4} \)