Найдите значение выражения $$\frac{52}{4+\sqrt{3}}+4\sqrt{3}$$ Решение.

Привет! Давай разберёмся с этим выражением шаг за шагом.

Шаг 1: избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, то есть на \(4 - \sqrt{3}\).

\( \frac{52}{4+\sqrt{3}} = \frac{52 \times (4-\sqrt{3})}{(4+\sqrt{3}) \times (4-\sqrt{3})} \)

В знаменателе используем формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):

\( (4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13 \)

Теперь подставляем обратно:

\( \frac{52 \times (4-\sqrt{3})}{13} \)

Сокращаем 52 и 13:

\( 4 \times (4-\sqrt{3}) = 16 - 4\sqrt{3} \)

Шаг 2: складываем полученное выражение с оставшейся частью.

Теперь вернёмся к исходному выражению и подставим результат из Шага 1:

\( (16 - 4\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} \)

Видим, что члены с \(\sqrt{3}\) взаимно уничтожаются:

\( 16 - 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 16 \)

Ответ: 16