Найдите значение выражения $$\frac{7ab}{a+7b} \cdot \left( \frac{a}{7b} - \frac{7b}{a} \right)$$ при $$a = 7\sqrt{2} + 7$$, $$b = \sqrt{2} - 9$$

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощение выражения.
   Исходное выражение: \[\frac{7ab}{a+7b} \cdot \left( \frac{a}{7b} - \frac{7b}{a} \right)\]
   Приведем к общему знаменателю в скобках:
   \[\frac{a}{7b} - \frac{7b}{a} = \frac{a \cdot a - 7b \cdot 7b}{7b \cdot a} = \frac{a^2 - 49b^2}{7ab}\]
   Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
   \[\frac{7ab}{a+7b} \cdot \frac{a^2 - 49b^2}{7ab}\]
   Сократим 7ab:
   \[\frac{1}{a+7b} \cdot (a^2 - 49b^2)\]
   Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов a2 - b2 = (a - b)(a + b):
   \[\frac{(a - 7b)(a + 7b)}{a+7b}\]
   Сократим (a + 7b):
   \[a - 7b\]
2. Шаг 2: Подстановка значений a и b.
   Дано: a = 7√2 + 7, b = √2 - 9.
   Подставим эти значения в упрощенное выражение a - 7b:
   \[(7\sqrt{2} + 7) - 7(\sqrt{2} - 9)\]
   Раскроем скобки:
   \[7\sqrt{2} + 7 - 7\sqrt{2} + 63\]
   Сгруппируем подобные слагаемые:
   \[(7\sqrt{2} - 7\sqrt{2}) + (7 + 63)\]
   \[0 + 70\]
   \[70\]

Ответ: 70