Найдите значение выражения \(\frac{a^{17} \cdot b^5)^3}{(a \cdot b)^{15}}\), при \(a = 7\) и \(b = \sqrt{7}\).

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Раскроем скобки в числителе: \((a^{17} \cdot b^5)^3 = a^{17 \cdot 3} \cdot b^{5 \cdot 3} = a^{51} \cdot b^{15}\)
2. Подставим в исходное выражение: \(\frac{a^{51} \cdot b^{15}}{(a \cdot b)^{15}}\).
3. Раскроем скобки в знаменателе: \((a \cdot b)^{15} = a^{15} \cdot b^{15}\).
4. Подставим в выражение: \(\frac{a^{51} \cdot b^{15}}{a^{15} \cdot b^{15}}\).
5. Сократим одинаковые множители: \(b^{15}\) в числителе и знаменателе сокращаются.
6. Сократим степени с основанием \(a\): \(a^{51} / a^{15} = a^{51-15} = a^{36}\).
7. Получим упрощенное выражение: \(a^{36}\).
8. Подставим данные значения \(a\) и \(b\): \(a = 7\) и \(b = \sqrt{7}\). Поскольку \(b\) сократилось, подставляем только \(a\).
9. Вычислим значение: \(7^{36}\).

Ответ: \(7^{36}\)