Найдите значение выражения \(\frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}}\), при \( a = 2 \) и \( b = \sqrt{2} \).

Решение:

1. Упростим выражение: \( \frac{a^{23} \cdot (b^5)^4}{(a \cdot b)^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{5 \cdot 4}}{a^{20} \cdot b^{20}} = \frac{a^{23} \cdot b^{20}}{a^{20} \cdot b^{20}} \).
2. Сократим одинаковые степени: \( a^{23-20} \cdot b^{20-20} = a^3 \cdot b^0 \).
3. Так как \( b^0 = 1 \), выражение равно \( a^3 \).
4. Подставим значение \( a = 2 \): \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \).

Ответ: 8