Найдите значение выражения $$\frac{(a^5)^3 \cdot a^6}{a^{22}}$$ при $$a=2$$.

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
2. \( (a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15} \)
3. \( a^{15} \cdot a^6 = a^{15+6} = a^{21} \)
4. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{a^{21}}{a^{22}} \).
5. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
6. \( \frac{a^{21}}{a^{22}} = a^{21-22} = a^{-1} \).
7. Выражение равно \( a^{-1} \), что можно записать как \( \frac{1}{a} \).
8. Теперь подставим значение \( a = 2 \) в упрощенное выражение: \( \frac{1}{2} \).

Ответ: $$\frac{1}{2}$$