Найдите значение выражения $$ \frac{b^{5\sqrt{2}+4}}{(b^{\sqrt{2}})^5} \quad при \quad b = 4. $$

Решение:

Запишем данное выражение:

$$ \frac{b^{5\sqrt{2}+4}}{(b^{\sqrt{2}})^5} $$

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) для знаменателя:

$$ (b^{\sqrt{2}})^5 = b^{\sqrt{2} \cdot 5} = b^{5\sqrt{2}} $$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$$ \frac{b^{5\sqrt{2}+4}}{b^{5\sqrt{2}}} $$

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

$$ b^{(5\sqrt{2}+4) - 5\sqrt{2}} = b^{5\sqrt{2}+4 - 5\sqrt{2}} = b^4 $$

Теперь подставим значение \( b = 4 \) в полученное выражение \( b^4 \):

$$ 4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256 $$

Ответ: 256