Найдите значение выражения \(\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}\), если \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}, \operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2}\)

Решение:

Для начала выразим \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) через \(\operatorname{tg} \alpha\), и аналогично для \(\beta\).

Из \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3}\) следует, что \(\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{ctg}^2 \alpha}} = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \alpha}}\).

\(\sin \alpha = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1+(\frac{1}{3})^2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}\).

\(\cos \alpha = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{\sqrt{10}}{3}\). Хотя \(\cos \alpha\) не понадобится, это для полноты.

Аналогично для \(\beta\): \(\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2}\).

\(\sin \beta = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\).

Теперь разложим числитель \(\sin(\alpha + \beta)\) по формуле синуса суммы:

\(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\).

Для вычисления \(\cos \beta\) из \(\operatorname{tg} \beta = \frac{1}{2}\): \(\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2 \beta}} = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Подставляем найденные значения в числитель:

\(\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{10}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{50}} + \frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{3}\).

Домножим числитель и знаменатель \(\sin \alpha \sin \beta\) на \(\sqrt{10}\) и \(\sqrt{5}\) соответственно:

\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}\).

Теперь подставим все в исходное выражение:

\(\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\frac{2}{5\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{5\sqrt{2}}} = \left(\frac{2}{5\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{3}\right) \cdot 5\sqrt{2} = \frac{2 \cdot 5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{3} = 2 + \frac{10}{3} = \frac{6+10}{3} = \frac{16}{3}\).

Альтернативный способ:

Разделим числитель и знаменатель на \(\cos \alpha \cos \beta\):

\(\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}\).

Подставляем данные значения:

\(\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+3}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}} = 5\).

Перепроверим первый способ. Ошибка была в расчете \(\frac{\sqrt{10}}{3}\) arc{1}{\(\sqrt{5}\)}

\(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}\).

\(\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}\).

\(\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

\(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{50}} = \frac{2}{5\sqrt{2}}\).

\(\sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{5\sqrt{2}} + \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5\sqrt{2}}\).

\(\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5\sqrt{2}}\).

\(\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\frac{3}{5\sqrt{2}}}{\frac{1}{5\sqrt{2}}} = 3\).

Ответ: 3