Найдите значение выражения: \( \frac{\sqrt{16a^9} \cdot \sqrt{4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}} \) при \( a = 9 \) и \( b = 11 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{\sqrt{16a^9} \cdot \sqrt{4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{a^9} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{b^3}}{\sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^3}} \)

Сократим \( \sqrt{b^3} \):

\( = \frac{4 \cdot \sqrt{a^9} \cdot 2}{\sqrt{a^5}} = \frac{8 \cdot \sqrt{a^9}}{\sqrt{a^5}} \)

Используем свойство корней \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \) и \( \sqrt{x^n} = x^{n/2} \):

\( = 8 \cdot \sqrt{\frac{a^9}{a^5}} = 8 \cdot \sqrt{a^{9-5}} = 8 \cdot \sqrt{a^4} \)

Так как \( \sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^2 \), получаем:

\( = 8 a^2 \)

Теперь подставим значение \( a = 9 \):

\( 8 \cdot (9)^2 = 8 \cdot 81 \)

\( 8 \cdot 81 = 648 \)

Значение \( b = 11 \) не используется в упрощенном выражении.

Ответ: 648.