Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}}\)

Решение:

Упростим выражение под корнем:

\(\sqrt{25a^9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^9} = 5 \cdot a^{9/2}\)

\(\sqrt{16b^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^8} = 4 \cdot b^{8/2} = 4b^4\)

\(\sqrt{a^5b^8} = \sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^8} = a^{5/2} \cdot b^{8/2} = a^{5/2}b^4\)

Теперь подставим упрощенные корни в исходное выражение:

\(\frac{5a^{9/2} \cdot 4b^4}{a^{5/2}b^4}\)

Сократим общие множители:

\(5 \cdot 4 \cdot \frac{a^{9/2}}{a^{5/2}} \cdot \frac{b^4}{b^4} = 20 \cdot a^{(9/2 - 5/2)} \cdot 1 = 20 \cdot a^{4/2} = 20a^2\)

Теперь подставим значения \( a = 4 \) и \( b = 7 \) в упрощенное выражение \( 20a^2 \):

\(20 \cdot (4)^2 = 20 \cdot 16 = 320\)

Ответ: 320