Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}}$$ при a = 4 и b = 7.

Решение:

Давай упростим выражение шаг за шагом:

1. Упрощаем числитель:
   \[ \sqrt{25a^9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^9} = 5 \cdot a^{9/2} \] \[ \sqrt{16b^8} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^8} = 4 \cdot b^{8/2} = 4b^4 \] Тогда числитель равен: \[ 5a^{9/2} \cdot 4b^4 = 20a^{9/2}b^4 \]
2. Упрощаем знаменатель:
   \[ \sqrt{a^5b^8} = \sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^8} = a^{5/2} \cdot b^{8/2} = a^{5/2}b^4 \]
3. Сокращаем дробь:
   \[ \frac{20a^{9/2}b^4}{a^{5/2}b^4} \]
   Сокращаем b⁴ и вычитаем степени у a: \[ 20 \cdot a^{(9/2 - 5/2)} = 20 \cdot a^{4/2} = 20a^2 \]
4. Подставляем значения:
   Теперь подставим a = 4 и b = 7 в упрощенное выражение 20a². Заметь, что значение b нам не понадобится, так как оно сократилось. \[ 20 \cdot (4)^2 = 20 \cdot 16 \]
5. Вычисляем окончательный результат:
   \[ 20 \cdot 16 = 320 \]

Ответ: 320