Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8}}{\sqrt{a^5b^8}}$$ при $$a=4$$ и $$b=7$$.

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства корней \( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \) и \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}} \).

1. Упростим числитель:
\( \sqrt{25a^9} \cdot \sqrt{16b^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{b^8} = 5 \cdot a^{9/2} \cdot 4 \cdot b^{8/2} = 20 \cdot a^{9/2} \cdot b^4 \)
2. Теперь разделим числитель на знаменатель:
\( \frac{20 \cdot a^{9/2} \cdot b^4}{\sqrt{a^5b^8}} = \frac{20 \cdot a^{9/2} \cdot b^4}{\sqrt{a^5} \cdot \sqrt{b^8}} = \frac{20 \cdot a^{9/2} \cdot b^4}{a^{5/2} \cdot b^{8/2}} = \frac{20 \cdot a^{9/2} \cdot b^4}{a^{5/2} \cdot b^4} \)
3. Сократим одинаковые множители и вычтем степени \( a \):
\( 20 \cdot a^{(9/2 - 5/2)} \cdot b^{(4-4)} = 20 \cdot a^{4/2} \cdot b^0 = 20 \cdot a^2 \cdot 1 = 20a^2 \)
4. Теперь подставим данные значения \( a=4 \) и \( b=7 \):
\( 20a^2 = 20 \cdot (4)^2 = 20 \cdot 16 \)
5. Вычислим результат:
\( 20 \cdot 16 = 320 \)

Ответ: 320