Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt[3]{9}}$$ .

Решение:

1. Запишем выражение:

   $$ \frac{\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt{12}}{\sqrt[3]{9}} $$

2. Приведём корни к общему показателю степени. Общий показатель — 6.
3. Перепишем выражение с показателем 6:

   $$ \frac{\sqrt[6]{6^2} \cdot \sqrt[6]{12^3}}{\sqrt[6]{9^2}} $$

4. Вычислим степени под корнями:

   $$ 6^2 = 36 $$

   $$ 12^3 = 1728 $$

   $$ 9^2 = 81 $$

5. Подставим значения обратно в выражение:

   $$ \frac{\sqrt[6]{36} \cdot \sqrt[6]{1728}}{\sqrt[6]{81}} $$

6. Объединим корни:

   $$ \sqrt[6]{\frac{36 \cdot 1728}{81}} $$

7. Сократим дробь:

   $$ \frac{36 \cdot 1728}{81} = \frac{4 \cdot 1728}{9} = 4 \cdot 192 = 768 $$

8. Таким образом, получаем:

   $$ \sqrt[6]{768} $$

9. Разложим 768 на множители:

   $$ 768 = 2^8 · 3 $$

10. Выделим множители, которые можно извлечь из-под корня шестой степени:

    $$ \sqrt[6]{2^8 · 3} = \sqrt[6]{2^6 · 2^2 · 3} = 2 · \sqrt[6]{4 · 3} = 2 · \sqrt[6]{12} $$

Ответ: \(2\sqrt[6]{12}\)