Найдите значение выражения \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-25} : \frac{2x+4}{6x+30}\) при \(x = 3\).

Решение:

1. Упростим выражение:
• Разложим числитель первой дроби: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \)
• Разложим знаменатель первой дроби: \( x^2-25 = (x-5)(x+5) \)
• Вынесем общий множитель из числителя второй дроби: \( 2x+4 = 2(x+2) \)
• Вынесем общий множитель из знаменателя второй дроби: \( 6x+30 = 6(x+5) \)
2. Подставим разложенные выражения в исходное:
\[ \frac{(x+2)^2}{(x-5)(x+5)} : \frac{2(x+2)}{6(x+5)} \]
3. Заменим деление умножением на обратную дробь:
\[ \frac{(x+2)^2}{(x-5)(x+5)} \cdot \frac{6(x+5)}{2(x+2)} \]
4. Сократим дробь:
\[ \frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} \cdot \frac{\cancel{6}^3}{\cancel{2}^1}\cancel{(x+2)} = \frac{x+2}{x-5} \cdot 3 = \frac{3(x+2)}{x-5} \]
5. Теперь подставим значение \( x=3 \) в упрощённое выражение:
\[ \frac{3(3+2)}{3-5} = \frac{3(5)}{-2} = \frac{15}{-2} = -7.5 \]

Ответ: -7.5