Найдите значение выражения \(\frac{x^9+x^4}{x^5+1}\) при \(x=-\frac{1}{3}\).

Вынесем \(x^4\) в числителе: \(\frac{x^9+x^4}{x^5+1}=\frac{x^4(x^5+1)}{x^5+1}=x^4\), если \(x^5+1\ne0\).

При \(x=-\frac{1}{3}\) знаменатель не равен нулю: \(x^5+1=1-\frac{1}{243}=\frac{242}{243}\). Поэтому значение выражения равно \(\left(-\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}\).

Ответ: \(\frac{1}{81}\).