Найдите значение выражения (2х²+3у³)(3у³−2х²) если х⁴ = 1/2, y² = 2.

Ответ: 20

1. Выразим x² и y³ через известные значения:
• Т.к. x⁴ = 1/2, то x² = \(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
• Т.к. y² = 2, то y = \(\sqrt{2}\), следовательно, y³ = y² * y = 2\(\sqrt{2}\).
2. Подставим полученные значения в исходное выражение:
\[(2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \cdot 2\sqrt{2})(3 \cdot 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})]\]
3. Упростим выражение в скобках:
\[(\sqrt{2} + 6\sqrt{2})(6\sqrt{2} - \sqrt{2}) = (7\sqrt{2})(5\sqrt{2})\]
4. Выполним умножение:
\[7\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 35 \cdot 2 = 70\]
5. Подставим x⁴ = 1/2 и y² = 2 в исходное выражение:
\[(2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = (6y^3)^2 - (2x^2)^2 = 36y^6 - 4x^4 = 36(y^2)^3 - 4x^4 = 36 \cdot 2^3 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 36 \cdot 8 - 2 = 288 - 2 = 286\]
6. Однако, пересчитаем еще раз, допустив, что в условии опечатка и должно быть x⁴ = 1/4 (вместо 1/2) и y² = 4 (вместо 2). Тогда:
7. Если x⁴ = 1/4, то x² = 1/2. Если y² = 4, то y = 2, и y³ = 8. Подставим эти значения в исходное выражение:
\[(2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = (2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot 8)(3 \cdot 8 - 2 \cdot \frac{1}{2}) = (1 + 24)(24 - 1) = 25 \cdot 23 = 575\]
8. Предположим, что опечатки нет и нужно найти значение выражения (2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2), если x^4 = 1/2 и y^2 = 2. Тогда: (2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = (3y^3)^2 - (2x^2)^2 = 9y^6 - 4x^4 = 9(y^2)^3 - 4x^4 = 9(2)^3 - 4(1/2) = 9*8 - 2 = 72 - 2 = 70.
9. Предположим, что нужно было вычислить (2x^2 + 3y^3)(3y^3 + 2x^2). Тогда: (2x^2 + 3y^3)(3y^3 + 2x^2) = (2x^2)^2 + 6x^2y^3 + 6x^2y^3 + (3y^3)^2 = 4x^4 + 12x^2y^3 + 9y^6 = 4(1/2) + 12(1/sqrt(2)) * 2sqrt(2) + 9(2)^3 = 2 + 12*2 + 9*8 = 2 + 24 + 72 = 98.
10. Пересчитаем еще раз. Выражение (2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = 6x^2y^3 - 4x^4 + 9y^6 - 6x^2y^3 = 9y^6 - 4x^4 = 9(y^2)^3 - 4x^4 = 9 * 2^3 - 4 * (1/2) = 9*8 - 2 = 72 - 2 = 70.
11. Предположим, что в условии опечатка: (2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) если x^4 = 1/2 и y^2 = 4. Тогда: (2x^2 + 3y^3)(3y^3 - 2x^2) = 9y^6 - 4x^4 = 9(y^2)^3 - 4x^4 = 9 * 4^3 - 4 * (1/2) = 9*64 - 2 = 576 - 2 = 574.

Ответ: 70