Найдите значение выражения k(k-5)-(7-k)^2 при k=5/9.

Решение:

Нам нужно найти значение выражения \( k(k-5) - (7-k)^2 \) при \( k = \frac{5}{9} \).

1. Подставим значение k в выражение:

   \( \frac{5}{9} \left( \frac{5}{9} - 5 \right) - \left( 7 - \frac{5}{9} \right)^2 \)

2. Вычислим разность в первой скобке:

   \[ \frac{5}{9} - 5 = \frac{5}{9} - \frac{45}{9} = \frac{5-45}{9} = -\frac{40}{9} \]

3. Вычислим разность во второй скобке:

   \[ 7 - \frac{5}{9} = \frac{63}{9} - \frac{5}{9} = \frac{63-5}{9} = \frac{58}{9} \]

4. Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

   \[ \frac{5}{9} \left( -\frac{40}{9} \right) - \left( \frac{58}{9} \right)^2 \]

5. Выполним умножение:

   \[ \frac{5 \times (-40)}{9 \times 9} = -\frac{200}{81} \]

6. Возведем в квадрат вторую дробь:

   \[ \left( \frac{58}{9} \right)^2 = \frac{58^2}{9^2} = \frac{3364}{81} \]

7. Теперь вычтем:

   \[ -\frac{200}{81} - \frac{3364}{81} = \frac{-200 - 3364}{81} = -\frac{3564}{81} \]

8. Сократим дробь, если возможно. Оба числа делятся на 9:

   \[ -\frac{3564 ÷ 9}{81 ÷ 9} = -\frac{396}{9} \]

9. Еще раз сократим на 9:

   \[ -\frac{396 ÷ 9}{9 ÷ 9} = -44 \]

Ответ: -44