Найдите значение выражения \(\left(9a^2 - \frac{1}{16b^2}\right) : \left(3a - \frac{1}{4b}\right)\) при \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{12}\).

Пошаговое решение:

1. Упрощение выражения:

   Заметим, что \(9a^2 = (3a)^2\) и \(\frac{1}{16b^2} = \left(\frac{1}{4b}\right)^2\). Таким образом, выражение \(9a^2 - \frac{1}{16b^2}\) является разностью квадратов.

   По формуле разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)\), имеем:

   \[ 9a^2 - \frac{1}{16b^2} = \left(3a - \frac{1}{4b}\right) \left(3a + \frac{1}{4b}\right) \]

   Теперь подставим это в исходное выражение:

   \[ \frac{\left(3a - \frac{1}{4b}\right) \left(3a + \frac{1}{4b}\right)}{3a - \frac{1}{4b}} \]

   Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что \(3a - \frac{1}{4b} \neq 0\)):

   \[ 3a + \frac{1}{4b} \]

2. Подстановка значений:

   Теперь подставим данные значения \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{12}\) в упрощенное выражение \(3a + \frac{1}{4b}\).

   \[ 3 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} \]

3. Вычисление:

   \[ 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \]

   Далее вычислим второе слагаемое:

   \[ \frac{1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} = \frac{1}{-\frac{4}{12}} = \frac{1}{-\frac{1}{3}} = -3 \]

   Теперь сложим полученные значения:

   \[ 2 + (-3) = 2 - 3 = -1 \]

4. Проверка условия:

   Проверим, что \(3a - \frac{1}{4b} \neq 0\) при данных значениях.

   \[ 3 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{12}\right)} = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5 \]

   Так как \(5 \neq 0\), сокращение было корректным.

Ответ: -1