Найдите значение выражения $$\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right):\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)$$ при $$x=-3\frac{3}{4}$$.

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке:

\( \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1 - (x^2-2x+1)}{x^2-1} = \frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1} = \frac{4x}{x^2-1} \)

Теперь упростим выражение во второй скобке:

\( \frac{x^2+1}{x^2-1}-\frac{x^2-1}{x^2+1} = \frac{(x^2+1)^2 - (x^2-1)^2}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{(x^4+2x^2+1) - (x^4-2x^2+1)}{x^4-1} = \frac{x^4+2x^2+1-x^4+2x^2-1}{x^4-1} = \frac{4x^2}{x^4-1} \)

Теперь разделим первое упрощённое выражение на второе:

\( \frac{4x}{x^2-1} : \frac{4x^2}{x^4-1} = \frac{4x}{x^2-1} \cdot \frac{x^4-1}{4x^2} = \frac{4x}{x^2-1} \cdot \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{4x^2} = \frac{x^2+1}{x} \)

Теперь подставим значение \( x = -3\frac{3}{4} = -\frac{15}{4} \) в упрощённое выражение:

\( \frac{x^2+1}{x} = \frac{(-\frac{15}{4})^2+1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225}{16}+1}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{225+16}{16}}{-\frac{15}{4}} = \frac{\frac{241}{16}}{-\frac{15}{4}} = \frac{241}{16} \cdot \left(-\frac{4}{15}\right) = \frac{241}{4} \cdot \left(-\frac{1}{15}\right) = -\frac{241}{60} \)

Переведём неправильную дробь в смешанное число:

\( -\frac{241}{60} = -4\frac{1}{60} \)

Ответ: $$-4\frac{1}{60}$$