Найдите значение выражения log₅0,2 + log₀,₅4.

Решение:

Вычислим значение выражения \( \log_5 0,2 + \log_{0,5} 4 \).

1. Первое слагаемое: \( \log_5 0,2 \). Запишем 0,2 как дробь: \( 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \). Тогда \( \log_5 0,2 = \log_5 \frac{1}{5} \). Поскольку \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \), получаем \( \log_5 5^{-1} \). По определению логарифма, \( \log_a a^n = n \), следовательно, \( \log_5 5^{-1} = -1 \).
2. Второе слагаемое: \( \log_{0,5} 4 \). Запишем 0,5 как дробь: \( 0,5 = \frac{1}{2} \). Тогда \( \log_{0,5} 4 = \log_{\frac{1}{2}} 4 \). Чтобы решить этот логарифм, найдём степень, в которую нужно возвести \( \frac{1}{2} \), чтобы получить 4. \( (\frac{1}{2})^n = 4 \). Так как \( \frac{1}{2} = 2^{-1} \) и \( 4 = 2^2 \), получаем \( (2^{-1})^n = 2^2 \), что равно \( 2^{-n} = 2^2 \). Приравнивая показатели, имеем \( -n = 2 \), откуда \( n = -2 \).
3. Суммируем результаты: \( -1 + (-2) = -1 - 2 = -3 \).

Ответ: -3.