Найдите значение выражения log_0,4 8 · log₈ 2,5

Решение:

Для решения данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \). Также применим свойство логарифма: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \).

Для начала, представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

• \( 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
• \( 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \)

Теперь перепишем исходное выражение:

\( \log_{0,4} 8 \cdot \log_8 2,5 \) = \( \log_{2/5} 8 \cdot \log_8 (5/2) \)

Применим свойство \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \) ко второму логарифму:

\( \log_{2/5} 8 \cdot \frac{1}{\log_{5/2} 8} \)

Теперь применим формулу перехода к новому основанию (например, натуральному логарифму ln) или любому другому удобному основанию. Воспользуемся тем, что \( \log_{2/5} 8 = \frac{\ln 8}{\ln(2/5)} \) и \( \log_8 (5/2) = \frac{\ln(5/2)}{\ln 8} \).

Тогда выражение примет вид:

\( \frac{\ln 8}{\ln(2/5)} \cdot \frac{\ln(5/2)}{\ln 8} \)

Сократим \( \ln 8 \):

\( \frac{1}{\ln(2/5)} \cdot \ln(5/2) \)

Используем свойство логарифма \( \ln(a/b) = \ln a - \ln b \) и \( \ln(b/a) = -\ln(a/b) \):

\( \ln(5/2) = \ln(1 / (2/5)) = -\ln(2/5) \)

Подставим это в выражение:

\( \frac{1}{\ln(2/5)} \cdot (-\ln(2/5)) \)

Сократим \( \ln(2/5) \):

\( -1 \)

Альтернативный способ с использованием свойства \( \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b \) и \( \log_a b = c \iff a^c = b \):

Пусть \( \log_{0,4} 8 = x \) и \( \log_8 2,5 = y \). Ищем \( x \cdot y \).

\( (2/5)^x = 8 \)

\( 8^y = 5/2 \)

Возведём второе уравнение в степень 3:

\( (8^y)^3 = (5/2)^3 \)

\( 8^{3y} = 125/8 \)

Заметим, что \( 8 = 2^3 \) и \( 125/8 = (5/2)^3 \).

\( (2^3)^{3y} = (5/2)^3 \)

\( 2^{9y} = (5/2)^3 \)

Теперь свяжем это с первым уравнением \( (2/5)^x = 8 \) => \( (5/2)^{-x} = 8 \) => \( (5/2)^{-x} = 2^3 \).

Из \( 2^{9y} = (5/2)^3 \) мы имеем \( 2^{9y} = 125/8 \). Это не очень удобно.

Вернемся к первой части решения, она более очевидна.

\( \log_{2/5} 8 \cdot \log_8 (5/2) \)

Используем формулу \( \log_a b = -\log_{1/a} b \) и \( \log_a b = -\log_a (1/b) \).

\( \log_{2/5} 8 = -\log_{5/2} 8 \)

Тогда выражение:

\( -\log_{5/2} 8 \cdot \log_8 (5/2) \)

Используем свойство \( \log_a b \cdot \log_b a = 1 \), значит \( \log_8 (5/2) = \frac{1}{\log_{5/2} 8} \).

\( -\log_{5/2} 8 \cdot \frac{1}{\log_{5/2} 8} \)

Сокращаем \( \log_{5/2} 8 \).

\( -1 \)

Ответ: -1