Найдите значение выражения (ответ записать в виде дроби): 1⁷₈ ∙ (2,1 · ³ⁱ⁴ + ⁹ⁱ₆) =

Решение:

1. Переведём смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби: \( 1\frac{7}{8} = \frac{1 · 8 + 7}{8} = \frac{15}{8} \), \( 2,1 = \frac{21}{10} \).
2. Приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 16 равен 112.
3. \( \frac{3}{14} = \frac{3 · 8}{14 · 8} = \frac{24}{112} \)
4. \( \frac{9}{16} = \frac{9 · 7}{16 · 7} = \frac{63}{112} \)
5. Сложим дроби в скобках: \( \frac{24}{112} + \frac{63}{112} = \frac{24 + 63}{112} = \frac{87}{112} \).
6. Теперь выполним умножение: \( \frac{15}{8} · \frac{87}{112} \).
7. Перед умножением проверим, можно ли сократить дроби. 15 и 8 не имеют общих множителей, кроме 1. 87 и 112 также не имеют общих множителей, кроме 1.
8. Умножим числители и знаменатели: \( \frac{15 · 87}{8 · 112} = \frac{1305}{896} \).
9. Проверим, можно ли сократить полученную дробь. Разложим числа на простые множители: \( 1305 = 3 · 5 · 87 = 3 · 5 · 3 · 29 = 3^2 · 5 · 29 \). \( 896 = 2 · 448 = 2^2 · 224 = 2^3 · 112 = 2^4 · 56 = 2^5 · 28 = 2^6 · 14 = 2^7 · 7 \). Общих множителей нет.
10. Дробь \( \frac{1305}{896} \) несократимая.

Ответ: \( \frac{1305}{896} \).