Найдите значение выражения при n = 81.

Привет! Давай решим это выражение вместе. Нам нужно найти значение:

\[ \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{4}} \cdot n^{\frac{1}{12}}} \]

при n = 81.

Сначала упростим знаменатель, используя свойство степенейa^m \(\cdot\) a^n = a^{m+n}:

\[ n^{\frac{1}{4}} \cdot n^{\frac{1}{12}} = n^{\frac{1}{4} + \frac{1}{12}} \]

Чтобы сложить дроби в показателе, приведем их к общему знаменателю (12):

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}} \]

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием\(\frac\)~a^m~}{a^n} = a^{m-n}:

\[ n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} \]

Снова приведем дроби к общему знаменателю (6):

\[ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Итак, наше выражение упростилось до:

\[ n^{\frac{1}{2}} \]

Это то же самое, что квадратный корень из n:\(\sqrt\)~{n}.

Теперь подставим n = 81:

\[ \sqrt{81} = 9 \]

В твоем решении написано\(\sqrt\)~{n} = 9, что совпадает с нашим результатом!

Ответ: 9