Найдите значение выражения sin(1001π/2 + α), если sin α = -3/5.

Решение:

1. Используем свойство периодичности синуса и приведём аргумент к более простому виду: \( \sin(\frac{1001\pi}{2} + \alpha) \).
2. Разделим 1001 на 2: \( 1001 = 2 × 500 + 1 \).
3. Тогда \( \frac{1001\pi}{2} = \frac{(2 × 500 + 1)\pi}{2} = 500\pi + \frac{\pi}{2} \).
4. Подставим это в исходное выражение: \( \sin(500\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) \).
5. Так как \( \sin(x + 2n\pi) = \sin(x) \) для любого целого \( n \), а \( 500\pi = 250 × 2\pi \), то \( \sin(500\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) \).
6. Используем формулу приведения: \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha) \).
7. Теперь нам нужно найти \( \cos(\alpha) \), зная, что \( \sin(\alpha) = -3/5 \).
8. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).
9. Подставим значение \( \sin(\alpha) \): \( (-\frac{3}{5})^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \).
10. \( \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \).
11. \( \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \).
12. \( \cos(\alpha) = \pm √⁴\frac{16}{25}\) = \( \pm ⁴⁵ \).
13. Без информации о квадранте угла \( \alpha \) мы не можем однозначно определить знак \( \cos(\alpha) \). Однако, если предположить, что угол \( \alpha \) находится в таком квадранте, где \( \sin(\alpha) \) отрицателен (III или IV квадрант), то \( \cos(\alpha) \) может быть как положительным (IV квадрант), так и отрицательным (III квадрант).
14. Для решения задачи часто предполагается, что мы ищем оба возможных значения или контекст задачи подразумевает конкретный квадрант (например, если бы было указано, что \( \alpha \) - острый угол, но здесь \( \sin(\alpha) \) отрицателен, значит, \( \alpha \) не острый).
15. Если предположить, что нужно найти все возможные значения, то ответ будет \( \pm \frac{4}{5} \).
16. Если предположить, что в учебниках часто допускают, что \( \sin(\alpha) \) дан для первого или второго квадранта (хотя здесь отрицателен), или что \( \alpha \) является углом, для которого \( \cos(\alpha) \) может быть положительным или отрицательным.
17. При \( \sin(\alpha) = -3/5 \), \( \alpha \) может быть в III или IV квадранте.
18. В III квадранте \( \cos(\alpha) < 0 \), значит \( \cos(\alpha) = -4/5 \).
19. В IV квадранте \( \cos(\alpha) > 0 \), значит \( \cos(\alpha) = 4/5 \).
20. Поскольку задача не уточняет квадрант, мы должны указать оба возможных значения.

Ответ: \( \pm ⁴\frac{4}{5}\).