Найдите значение выражения: \(\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}}\).

Для начала упростим выражение, найдя полные квадраты внутри квадратных корней. Выражение \(19 + 8\sqrt{3}\) можно представить как \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Нужно подобрать такие \(a\) и \(b\), чтобы \(a^2 + b^2 = 19\) и \(2ab = 8\sqrt{3}\), то есть \(ab = 4\sqrt{3}\). Попробуем представить \(4\sqrt{3}\) как \(4 \cdot \sqrt{3}\). Тогда предположим, что \(a = 4\) и \(b = \sqrt{3}\). Проверим: \(a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19\). Это подходит. Таким образом, \(19 + 8\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^2\). Аналогично, выражение \(19 - 8\sqrt{3}\) можно представить как \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Подбираем \(a\) и \(b\) так, чтобы \(a^2 + b^2 = 19\) и \(2ab = 8\sqrt{3}\), то есть \(ab = 4\sqrt{3}\). Как и ранее, \(a = 4\) и \(b = \sqrt{3}\) подходят. Тогда \(19 - 8\sqrt{3} = (4 - \sqrt{3})^2\). Теперь упростим исходное выражение: \(\sqrt{19 + 8\sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} + \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = |4 + \sqrt{3}| + |4 - \sqrt{3}|\). Так как \(4 + \sqrt{3} > 0\) и \(4 - \sqrt{3} > 0\), то модули можно опустить: \(4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} = 8\). Ответ: 8