Найдите значение выражения \(\sqrt{12}\cos^2{\frac{5\pi}{12}}-\sqrt{3}\).

Решение:

Для вычисления значения выражения \(\sqrt{12}\cos^2{\frac{5\pi}{12}}-\sqrt{3}\) воспользуемся формулой понижения степени: \(\cos^2{\alpha} = \frac{1+\cos{2\alpha}}{2}\).

В нашем случае \(\alpha = \frac{5\pi}{12}\), значит \(2\alpha = 2 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}\).

Подставим это в формулу:

\[ \cos^2{\frac{5\pi}{12}} = \frac{1+\cos{\frac{5\pi}{6}}}{2} \]

Известно, что \(\cos{\frac{5\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим значение косинуса:

\[ \cos^2{\frac{5\pi}{12}} = \frac{1+(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4} \]

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

\[ \sqrt{12} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \]

Упростим \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}\).

Подставим это:

\[ 2\sqrt{3} \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{2} - \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} - \sqrt{3} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{2\sqrt{3} - 3}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{-3}{2} \]

Таким образом, значение выражения равно \(-\frac{3}{2}\).

Ответ: -\(\frac{3}{2}\).