Найдите значение выражения: \(\sqrt{3 \cdot 45} \cdot \sqrt{8}\).

Решение:

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами корней: \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \).

1. Объединим корни под одним знаком: \[ \sqrt{3 \cdot 45} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{(3 \cdot 45) \cdot 8} \]
2. Выполним умножение под корнем: \( 3 \cdot 45 = 135 \).
3. Затем: \( 135 \cdot 8 = 1080 \).
4. Получим: \[ \sqrt{1080} \]
5. Разложим число 1080 на множители, чтобы извлечь квадратный корень: \( 1080 = 108 \cdot 10 = (36 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 36 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 36 \cdot 30 \).
6. Таким образом, \( \sqrt{1080} = \sqrt{36 \cdot 30} \).
7. Извлечём квадратный корень из 36: \( \sqrt{36} = 6 \).
8. Окончательно получаем: \( 6 \sqrt{30} \).

Ответ: \( 6\sqrt{30} \).