Найдите значение выражения $$\sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5}$$.

Пусть $$x = \sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$x^2 = (\sqrt{4\sqrt{5}+9}-\sqrt{5})^2 = (4\sqrt{5}+9) - 2\sqrt{5}\sqrt{4\sqrt{5}+9} + 5 = 4\sqrt{5}+14 - 2\sqrt{20\sqrt{5}+45}$$.

Это выражение не упрощается легко. Попробуем другой подход. Заметим, что $$4\sqrt{5}+9$$ может быть квадратом выражения вида $$(a+b\sqrt{5})^2$$.

$$(a+b\sqrt{5})^2 = a^2 + 5b^2 + 2ab\sqrt{5}$$.

Сравнивая с $$4\sqrt{5}+9$$, получаем $$2ab = 4$$ и $$a^2+5b^2 = 9$$. Из $$ab=2$$, $$b=2/a$$. Подставляем во второе уравнение: $$a^2 + 5(2/a)^2 = 9 ightarrow a^2 + 20/a^2 = 9 ightarrow a^4 - 9a^2 + 20 = 0$$.

Пусть $$y=a^2$$. Тогда $$y^2 - 9y + 20 = 0$$. Корни: $$y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$$. $$y_1 = 5$$, $$y_2 = 4$$.

Если $$a^2=4$$, то $$a=2$$ (берем положительный корень). Тогда $$b=2/2=1$$. Проверяем: $$(2+\sqrt{5})^2 = 4 + 5 + 4\sqrt{5} = 9+4\sqrt{5}$$.

Значит, $$\sqrt{4\sqrt{5}+9} = 2+\sqrt{5}$$.

Тогда исходное выражение равно $$(2+\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 2$$.