Найдите значение выражения \(\sqrt{45 \cdot 60 \cdot 12}\).

Решение:

Для нахождения значения выражения \(\sqrt{45 \cdot 60 \cdot 12}\), разложим числа под корнем на простые множители:

1. \( 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 \)
2. \( 60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
3. \( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \)

Теперь подставим разложения в выражение под корень:

\[ \sqrt{45 \cdot 60 \cdot 12} = \sqrt{(3^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3)} \]

Сгруппируем одинаковые множители:

\[ = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} \]

Теперь извлечём корень, вынеся множители из-под корня:

\[ = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \]

Вычислим произведение:

\[ = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180 \]

Альтернативный способ:

Можно заметить, что \( 45 = 9 \cdot 5 \), \( 60 = 12 \cdot 5 \). Тогда:

\[ \sqrt{45 \cdot 60 \cdot 12} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 60 \cdot 12} = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot (5 \cdot 12) \cdot 12} = \sqrt{9 \cdot 5^2 \cdot 12^2} \]

Извлекая корень:

\[ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{12^2} = 3 \cdot 5 \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \]

Ответ: 180.