Найдите значение выражения \(\sqrt{56 \cdot 40 \cdot 35}\).

Решение:

1. Разложим множители под корнем на простые множители:
• \( 56 = 7 \cdot 8 = 7 \cdot 2^3 \)
• \( 40 = 4 \cdot 10 = 2^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)
• \( 35 = 5 \cdot 7 \)
2. Подставим разложение в выражение: \[ \sqrt{(7 \cdot 2^3) \cdot (2^3 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 7)} \]
3. Сгруппируем одинаковые множители: \[ \sqrt{2^3 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7} \]
4. Объединим степени: \[ \sqrt{2^6 \cdot 5^2 \cdot 7^2} \]
5. Извлечем корень: \[ \sqrt{(2^3)^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 \]
6. Вычислим: \( 8 \cdot 5 \cdot 7 = 40 \cdot 7 = 280 \)

Ответ: 280.