Найдите значение выражения $$\sqrt{6\sqrt{5}+14}-\sqrt{5}$$.

Пусть $$x = \sqrt{6\sqrt{5}+14}-\sqrt{5}$$.

Возведем обе части в квадрат: $$x^2 = (\sqrt{6\sqrt{5}+14}-\sqrt{5})^2 = (6\sqrt{5}+14) - 2\sqrt{5}\sqrt{6\sqrt{5}+14} + 5 = 19+6\sqrt{5} - 2\sqrt{30\sqrt{5}+70}$$.

Это усложняет задачу. Попробуем представить выражение под корнем в виде квадрата суммы или разности.

Рассмотрим $$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$$.

Нам нужно представить $$6\sqrt{5}+14$$ в виде $$a+b+2\sqrt{ab}$$.

Пусть $$2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5}$$, тогда $$\sqrt{ab} = 3\sqrt{5} = \sqrt{45}$$. Значит $$ab=45$$.

И $$a+b=14$$.

Решая систему $$a+b=14$$ и $$ab=45$$, находим $$a=9$$ и $$b=5$$ (или наоборот).

Тогда $$6\sqrt{5}+14 = 9+5+2\sqrt{9 imes 5} = (\sqrt{9}+\sqrt{5})^2 = (3+\sqrt{5})^2$$.

Следовательно, $$\sqrt{6\sqrt{5}+14} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5}$$ (так как $$3+\sqrt{5} > 0$$).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$\sqrt{6\sqrt{5}+14}-\sqrt{5} = (3+\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 3$$.