Найдите значение выражения $$\sqrt{9a^2+6ab+b^2}$$ при $$a=\frac{5}{13}$$ и $$b=6\frac{11}{13}$$.

Решение:

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат суммы: \( 9a^2 + 6ab + b^2 = (3a+b)^2 \).

Тогда \( \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = \sqrt{(3a+b)^2} = |3a+b| \).

Подставим значения \( a \) и \( b \). Сначала переведём смешанное число \( b \) в неправильную дробь:

\( b = 6\frac{11}{13} = \frac{6 \cdot 13 + 11}{13} = \frac{78 + 11}{13} = \frac{89}{13} \).

Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) в выражение \( 3a+b \):

\[ 3a+b = 3 \cdot \frac{5}{13} + \frac{89}{13} = \frac{15}{13} + \frac{89}{13} = \frac{15+89}{13} = \frac{104}{13} \].

Значение \( \frac{104}{13} \) равно 8.

Так как \( 3a+b = 8 \) (положительное число), то \( |3a+b| = 3a+b \).

Следовательно, \( \sqrt{9a^2+6ab+b^2} = 8 \).

Ответ: 8.