Найдите значение выражения \( \sqrt{(-a)^{10} \cdot (a^{-3})^2} \) при a = 5.

Краткая запись:

• Выражение: \( \sqrt{(-a)^{10} \cdot (a^{-3})^2} \)
• Дано: \( a = 5 \)
• Найти: Значение выражения — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем подкоренное выражение, используя свойства степеней.
2. \( (-a)^{10} = a^{10} \) (так как показатель степени четный, отрицательное основание становится положительным).
3. \( (a^{-3})^2 = a^{-3 \cdot 2} = a^{-6} \) (при возведении степени в степень показатели перемножаются).
4. Шаг 2: Подставляем упрощенные выражения обратно в корень.
5. \( \sqrt{a^{10} \cdot a^{-6}} \)
6. Шаг 3: Складываем показатели степеней при умножении.
7. \( a^{10} \cdot a^{-6} = a^{10 + (-6)} = a^{10 - 6} = a^4 \)
8. Шаг 4: Извлекаем квадратный корень.
9. \( \sqrt{a^4} = a^{4/2} = a^2 \)
10. Шаг 5: Подставляем значение \( a = 5 \) в полученное выражение.
11. \( 5^2 = 25 \)

Ответ: 25