Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 - 6ab + 9b^2}\) при \(a=3\) и \(b=6\).

Решение:

Заданное выражение представляет собой квадратный корень из квадратного трехчлена. Этот трехчлен можно свернуть по формуле квадрата разности: \( (a - 3b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2 \).

Таким образом, исходное выражение можно переписать как \( \sqrt{(a - 3b)^2} \).

По определению квадратного корня, \( \sqrt{x^2} = |x| \).

Подставим данные значения \(a=3\) и \(b=6\) в выражение \( a - 3b \):

\[ a - 3b = 3 - 3 \cdot 6 = 3 - 18 = -15 \]

Теперь найдём значение квадратного корня:

\[ \sqrt{(a - 3b)^2} = \sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15 \]

Ответ: 15