Найдите значение выражения: \( \sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}} \)

Решение:

1. Для начала упростим выражение под корнем, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя:
\[ \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{9-3} = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{6} \]

2. Теперь извлечём квадратный корень:
\[ \sqrt{\frac{(3-\sqrt{3})^2}{6}} = \frac{\sqrt{(3-\sqrt{3})^2}}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\sqrt{3}|}{\sqrt{6}} \]

3. Так как \( 3 > \sqrt{3} \), то \( |3-\sqrt{3}| = 3-\sqrt{3} \).


4. Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{6} \), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:
\[ \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{(3-\sqrt{3})\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6} - \sqrt{3}\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{6} - \sqrt{18}}{6} \]

5. Упростим \( \sqrt{18} \): \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).


6. Подставим обратно:
\[ \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{6} \]

7. Вынесем общий множитель \( 3 \) в числителе:
\[ \frac{3(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \]

Ответ: \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \).